Főoldal » Mire jó az általános megfogalmazás?

Mire jó az általános megfogalmazás?

MEGOSZTÁS

Ha tetszett a cikk, akkor nyugodtan oszd meg ismerőseiddel, valószínű ők is örülni fognak neki.

  A tudomány világában a többség számára evidencia, hogy igyekezzünk a felmerülő problémákat minél általánosabban megfogalmazni, s azokra egy minél általánosabb megoldást találni. A tudós társadalom is gyakran követi el azonban azt a hibát, hogy egy-egy felfedezést sokkal általánosabb érvényűnek gondol, mint amilyen az valójában. A legnagyobbak is szeretnek megfeledkezni arról, hogy megadják az összefüggések értelmezési tartományát. Ezért a tudomány továbbfejlődésében igen nagy a jelentősége azoknak az új eredményeknek, amelyek valójában nem tesznek mást, mint korábban megoldottnak gondolt problémáknak az értelmezési tartományát terjesztik ki.

  A hétköznapokban gyakran találkozni azzal, hogy az ember konkrét kérdésére, problémájára hol ad választ ezek általános megfogalmazása.

  Ezt az összefüggést egy nagyon egyszerű és közismert matematikai probléma segítségével próbálom meg szemléltetni.

  Végtelen számú egyismeretlenes másodfokú összefüggés írható fel, amelyek egy-egy hétköznapi problémát kiválóan modelleznek. Mindenkire jut az életben egy, vagy több megoldandó ilyen egyenlőség, amire neki magának kell a konkrét körülmények között a konkrét megoldást megtalálnia. Például:

2x²-2x=12

  Az összefüggésben az x-el jelölt ismeretlen megkeresésére sokfajta módszer kínálkozik. Próbálkozhatunk találgatással. Kiderülhet azonban, hogy a próbálkozások során a vélelmezett tartományban nem találunk megoldást, mert nem mindig ilyen egyszerű az összefüggés. Teljes bizonyossággal mégsem jelenthetjük ki, hogy az egyenlőségnek a vizsgált tartományban nincsen megoldása. Sokszori sikertelenség után a keresgélést fel is szokás adni.

Kísérletet tehetünk arra, hogy átrendezzük, szorzattá alakítsuk, s így határozzuk meg a gyököket.

pl. 2(x+2)·(x-3)=0

Tehát a megoldások x1=-2 és x2=3

  A tudomány azonban erre az egyszerű problémakörre kidolgozta az általános megoldást. Azaz, először is meghatározta az általános megfogalmazását a problémának, amely a következő alakban írható fel:

ax²+bx+c=0

  Első ránézésre úgy tűnhet, hogy ezzel a lépéssel nem leegyszerűsítettük, hanem csak elbonyolítottuk a helyzetet. Ez a feltétele azonban annak, hogy elkezdhessük az általános megoldást megkeresni. A levezetést nem részletezve, minden középiskolát végzett tudja, hogy az alábbi megoldó képlethez jutunk:

[token node title-raw]

  Ennek az általános megoldásnak az ismeretében már mindenki a maga konkrét számait behelyettesítve megkaphatja a maga konkrét eredményeit. Ehhez nem kell mást tennie, mint felismerni a saját probléma és az általános között a kapcsolatot. Azaz a=2, b=-2, c=-12 értékek fenti képletbe való behelyettesítésével kiadódik ebben az esetben is a keresett megoldás.

  Amennyiben különböző konkrét eseteket leíró számokkal próbálkozunk, akkor kiderülhet, hogy nem minden esetben van két gyöke egyenlőségünknek, mint a fenti példában. Legalább olyan gyakran fordul elő, hogy a valós számok körében nem is létezik megoldás, mert a gyök alatti szám (determináns) értéke nullánál kisebbre adódik. Az esetek egy részében pedig csak egyetlen gyököt fogunk találni, mert teljes négyzet alakúra hozható az egyenlőségünk bal oldala.

  A megoldás tulajdonsága még a számok világában is nagyon változatos lehet. A végtelen számosságú természetes számok mellett a megoldás adódhat negatív értékűnek is, amit a hétköznapokban esetenként nem szívesen veszünk tudomásul. Az eredmény lehet még tört, és akár még tört alakban fel sem írható, ún. irracionális szám is. Amennyiben azonban nem csak a valós számok világában, hanem a komplex számok birodalmában is eligazodunk, további új típusú problémák és megoldások kerülhetnek be a látómezőnkbe. Akik a matematikában tehát nem kellően jártasak, az általános megoldás megtalálása és értelmezése már komoly nehézséget okozhat.

  Az analógia kedvéért bemutatott egyszerű matematikai példának tehát az a tanulsága, hogy az általános megfogalmazás és annak megoldása különösen akkor hasznos, ha egy-egy nehezebb, gyakran megoldandó problémával van dolgunk. További tanulság, hogy a keresett megoldás sokszor olyan tartományban található, vagy olyan alakot ölt, amely számunkra valamilyen okból nem szimpatikus, s így eszünkbe sem jut ott keresni.

  Nem csak a matematika, hanem valamennyi tudományterületen, sőt a hétköznapi életben felmerülő problémák világában is érvényesek azok az összefüggések, amelyekre ennek a nagyon egyszerű feladatnak a megoldása kapcsán rámutatni szerettem volna. Azaz egy probléma általános megfogalmazása és megoldása többnyire sokkal nehezebb feladat, mint egy-egy konkrét problémára a konkrét megoldást megtalálni. Viszont ha az általános megoldás rendelkezésünkre áll, annak segítségével számos konkrét probléma könnyen és biztonságosan megoldható. Nem kell ugyanis mást tennünk, mint következetesen alkalmazni. Kétségtelen tény, hogy sokszor sajnos ez sem egyszerű feladat. Különösen igaz ez akkor, ha ennek a megoldásnak a választása még esetleg valamifajta hátránnyal is jár a számunkra.

dr. Reith János

MEGOSZTÁS

Ha tetszett a cikk, akkor nyugodtan oszd meg ismerőseiddel, valószínű ők is örülni fognak neki.